정규분포

세상의 수많은 현상들은 대부분 정규분포를 따른다고 한다. 그런데 정규분포를 나타내는 식을 보면 너무나 복잡하게 생겨서, 어떻게 저런 식이 나왔는지도 알 수가 없고, 세상의 수많은 일이 정규분포로 설명된다는 것도 납득이 잘 안 된다. 정규분포라는 것은 도대체 어떻게 생각하게 되었을까?     윷짝을 보자 - 확률분포 이 세상 수많은 일들 가운데 우연의 지배를 받는 것이 많다. 주사위를 던져 나오는 점의 개수를 생각해 보면, 어떤 개수이든 같은 정도의 확률로 일어나게 된다. 동전을 던져 앞면이 나오는지 뒷면이 나오는지를 따져 보아도 마찬가지이다. 반면, 어떤 현상의 경우 일어나는 확률이 모두 같지는 않을 수도 있다. 예를 들어 윷놀이에서 모나 윷이 나올 확률은 도, 개, 걸이 나올 확률보다 훨씬 낮다. 이때 각각의 경우가 일어날 확률이 어떤지를 나타내는 것이 확률분포이다. 주사위나 동전의 경우 모든 경우의 확률이 같으므로 균등분포(uniform distribution)라 부른다.   윷의 경우, 각각의 윷짝이 엎어질 확률이 p, 뒤집어질 확률이 q(=1-p)라 하고, 도, 개, 걸, 윷, 모가 나올 확률을 구하여 보자. 윷이나 모가 나올 확률은 간단하다. 모든 윷짝이 똑 같은 모양이 되어야 하므로, 모가 나올 확률은 p4, 윷이 나올 확률은 q4이다. 도가 나오려면, 네 개의 윷짝 가운데 하나만이 뒤집어지고 나머지는 엎어져야 하므로, 어느 것이 뒤집어지느냐에 따라 네 가지 가능성이 있다. 즉, 도가 나올 확률은 4p3q가 된다. 개가 나오려면, 네 개의 윷짝 가운데 어느 두 개가 엎어지느냐에 따라 다음과 같이 모두 6 가지 경우가 나온다. 따라서 확률은 6p2q2.

 

윷놀이에서 개가 나오는 경우

 

걸의 경우, 도와 마찬가지로 네 가지 가능성이 있으므로, 확률은 4pq3이 된다. 일일이 세어보고 계산하는 것은 매우 번거롭지만, 다행스럽게도 이 계산은 (p+q)4을 전개하여 구할 수도 있다. 각 항은 차례대로 윷, 걸, 개, 도, 모가 나올 확률이 된다. 전개의 결과는 아래와 같다.     이 식을 조합(nCr)을 이용해서 표현하면 아래와 같이 된다.     위 식은 p와 q의 두 항으로 이루어진 식의 거듭제곱을 전개한 것으로 일반적으로 “이항정리(binomial theorem)”로 불린다. 이런 점에서 윷을 던지는 경우와 같은 확률분포를 이항분포(binomial distribution)라 한다.     윷짝이 많아지면? - 정규분포 우연의 지배를 받는 세상의 수많은 현상들은 그 원리를 들여다 보면 이항분포에 따라 발생확률이 결정되는 경우가 많다. 미시적인 관점에서 보면 생명체가 성장하는 것도 마찬가지이다. 하나의 세포가 분열하여 늘어나는 것은 대체로 세포마다 비슷한 확률을 보이지만, 이것이 모이고 모이면 생명체의 크기가 다양하면서도 어떤 추세 같은 것이 나타나게 된다. 사람의 키가 제각각이지만 같은 연령의 사람 키는 대체로 평균에 가까운 사람이 압도적으로 많은 것처럼 말이다. 따라서 원리적으로는 이항분포를 이용하여 확률을 계산하면 세상의 수많은 현상들을 잘 설명할 수 있게 된다. 다만, 여기에 한 가지 사소한(?) 문제가 있으니, 바로 직접 확률을 계산하기에는 계산량이 너무 많다는 점이다.   예를 들어, 엎어지거나 뒤집어질 확률이 1/2인 윷짝 100개를 던진다면, 대체로 절반 정도는 엎어지고 절반 정도는 뒤집어지는 경우가 많을 것이다. 그 확률은 얼마나 될까? 정확히 50개씩 엎어지고 뒤집어진다고 하면 그 확률은 다음과 같다.     이 값 자체는 열심히 계산해서 구할 수도 있지만, “대체로 절반 정도”라는 표현에 부합하도록 엎어진 윷짝과 뒤집어진 윷짝의 개수 차이가 10개를 넘지 않는 경우의 확률을 계산하려면 다음 식을 계산해야 한다.     컴퓨터의 위력을 빌면 어찌어찌 해결할 수 있겠지만, 윷짝이 1000개를 넘는다면 도저히 일일이 계산하는 방식으로는 문제를 해결할 길이 없다. 수학자 드무아브르(A. de Moivere, 1667-1754)가 고심하였던 문제가 바로 이것이었다. 물론 그가 윷놀이를 연구하였다는 뜻은 아니다.     중심극한정리(central limit theorem)

드무아브르는 시행횟수 N이 아주 큰 경우 이항분포가 어떤 식에 가까워질지를 연구하였다. 마침내 1733년에 발표한 논문에서 드무아브르는 문제의 식이 다음과 같이 표현됨을 증명하는 데 성공하였다.     이 근사식은 시행횟수 N이 충분히 클 때 유도되는 식이지만, 실제로는 N이 그리 크지 않아도 비교적 잘 성립한다. 드무아브르는 “내가 시험해서 확인한 것인데, N이 100을 넘을 정도로 상당히 큰 값이 아니더라도 내 방법을 쓰면 꽤 괜찮은 결과를 얻을 수 있다”라고 기록하였다. 아마도 그는 몇 가지 경우에 대해 일일이 정확한 값을 구해 보았던 것 갈다. 이항분포는 이산적인(discrete) 확률분포이지만, 시행횟수 N이 충분히 크다면, 연속적인 양처럼 다룰 수 있다.

아브라함 드무아브르(Abraham de Moivre, 1667~1754)

 

위의 오른쪽 식에서 k의 값을 바꾸어 가며 점을 찍은 다음 매끈하게 연결하면 다음 그림과 같은 종모양의 곡선이 된다. 이 곡선을 보면, 양쪽 끝으로 갈수록 확률이 급격하게 작아지는 것을 알 수 있다.

 

 

연속적인 곡선으로 생각하면, 유한 개의 확률을 하나하나 계산하여 더하는 대신, 일정 구간에서 위의 함수를 적분하여 확률을 계산할 수 있다. 앞서 구해 보았던 “대체로 절반 정도의 윷짝이 엎어지는 확률”을 이 끔찍해 보이는 식을 이용하여 계산해 보면, 더 끔찍해 보이는 다음의 식이 된다.     적분하면 확률이 나온다는 점에서 이런 함수를 “확률 밀도 함수”라 한다. 이 확률 밀도 함수를 이용하여 나타내어지는 확률 분포를 정규분포(normal distribution)라 한다. 이후 라플라스(P.-S. Laplace, 1749-1827)는 이항분포가 아닌 확률분포에 대해서도 시행횟수가 크면 시행에 따른 평균값이 정규분포를 따름을 보였다. 이것은 중심극한정리(central limit theorem)라 하며, 통계학의 핵심적인 이론 가운데 하나이다.     가우스의 통찰력

르장드르(Adrien-Marie Legendre)의 초상화 19세기, 작자미상.

정규분포는 19세기의 가장 위대한 수학자인 가우스(C. F. Gauss, 1777-1855)에 의해 새롭게 해석된다. 가우스는 관측에 따른 오차의 정도가 대체로 평균값 주변에서 발생한다는 점에 착안하여 정규분포에 따른 확률 밀도 함수와 똑 같은 식을 얻을 수 있었다. 이것은 관측 오차 역시 정규분포를 따른다는 것으로, 이후 실험으로 구한 관측값에서 참값을 추정해내는 근본적인 원리로 자리잡게 된다. 이런 점에서 위의 종모양 곡선을 오차곡선(error curve)라고도 부른다. 사실 가우스가 이런 착상을 통하여 최소제곱법이라 부르는 원리를 유도한 과정은 다소 억지스럽고 순환논법적인 면이 있었다. 또, 최소제곱법 자체는 르장드르(Adrie n-Marie Legendre, 1752-1833)가 이미 발견한 것이어서 새로운 발견이라 하기도 어려웠다. 그러나 가우스의 착상은 여러 수학자에게 큰 충격을 주었다. 특히 라플라스는 가우스의 논문을 보고서, 자신이 증명한 중심 극한 정리를 이용하여 최소제곱법의 수학적 기초를 다지는 데 성공할 수 있었다. 이 과정에서 르장드르와 가우스 가운데 누가 먼저 최소제곱법을 발견하였는지를 놓고 격렬한 논쟁이 벌어지기도 하였다. 두 대가가 서로를 비난하는 글을 보면 키보드워리어들의 논쟁쯤은 비교도 안 되어 보인다.

 

 

세상을 설명하는 정규분포 중심 극한 정리에 따르면 정규분포는 어떤 확률분포에 대해서도 적용되는 대단히 좋은 확률분포인 데다, 또한 관측 오차를 설명하는 확률분포이기도 하므로, 세상 모든 일이 정규분포를 따른다고 생각하는 것은 어쩌면 당연한 결론이라 하겠다. 정규분포라는 이름 또한 그런 뜻에서 지어진 것이었다. 지극히 정상정인 분포라는 뜻이다. 어떤 현상을 관찰한 결과가 정규분포를 따르지 않는다면, 그것은 자료가 부족한 것으로 생각될 정도였다.

 

정규분포 곡선. 그림에는 평균값(μ, 뮤) 에서 표준편차(σ, 시그마) 간격마다 해당되는 확률 분포의 값이 표시되어 있다.
세상 많은 일들이 이 정규분포를 따른다.

 

이런 믿음은 이후 정규분포와는 다른 확률분포들이 발견되면서 차츰 사라지게 되지만, 세상의 많은 일들이 정규분포를 따르고 있다는 것은 여전히 사실이다. 그러니 세상 모든 일은 아니라도 세상의 많은 일들이 정규분포를 이용하여 설명된다는 것은 어찌 보면 당연한 일이기도 하다.

 

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한유의 사설(師說) -스승의 도는?

◆원문과 독음 ◆

古之學者 必有師 師者 所以傳道授業解惑也
고지학자 필유사 사자 소이전도수업해혹야
人 非生而知之者 孰能無惑. 惑而不從師 其爲惑也 終不解矣.
인 비생이지지자 숙능무혹. 혹이부종사 기위혹야 종불해의.

生乎吾前 其聞道也 固先乎吾 吾從而師之 生乎吾後 其聞道也.
생호오전 기문도야 고선호오 오종이사지 생호오후 기문도야.
亦先乎吾 吾從而師之 吾 師道也. 夫庸知其年之先後 生於吾乎.
역선호오 오종이사지 오 사도야. 부용지기년지선후 생어오호.
是故 無貴無賤 無長無小 道之所存 師之所存也.
시고 무귀무천 무장무소 도지소존 사지소존야.

嗟乎. 師道之不傳也 久矣 欲人之無惑也 難矣.
차호. 사도지부전야 구의 욕인지무혹야 난의.
古之聖人 其出人也 遠矣 猶且從師而問焉 今之衆人 其下聖人也 亦遠矣
고지성인 기출인야 원의 유차종사이문언 금지중인 기하성인야 역원의
而恥學於師 是故 聖益聖 愚益愚 其皆出於此乎.
이치학어사 시고 성익성 우익우 기개출어차호.

愛其子 擇師而敎之 於其身也 則恥師焉 惑矣.
애기자 택사이교지 어기신야 칙치사언 혹의.
彼童子之師 授之書而習其句讀者也 非吾所謂傳其道解其惑者也.
피동자지사 수지서이습기구독자야 비오소위전기도해기혹자야.
句讀之不知 惑之不解 或師焉 或不焉 小學而大遺 吾未見其明也.
구독지부지 혹지불해 혹사언 혹불언 소학이대유 오미견기명야.

巫醫樂師百工之人 不恥相師 士大夫之族
무의낙사백공지인 불치상사 사대부지족
曰師 曰弟子 云者 則群聚而笑之 問之則曰 彼與彼 年相若也 道相似也
왈사왈제자 운자 칙군취이소지 문지칙왈 피여피 연상약야 도상사야
位卑則足差 官盛則近諛. 嗚呼 師道之不復 可知矣 巫醫樂師百工之人
위비칙족차 관성칙근유. 오호 사도지불복 가지의 무의낙사백공지인
君子不齒 今其智乃反不能及 基可怪也歟.
군자불치 금기지내반불능급 기가괴야여.

聖人 無常師 孔子師　子弘師老　子之徒其賢 不及孔子.
성인 무상사 공자사　자홍사노　자지도기현 불급공자.
孔子曰 三人行 則必有俄師 是故 弟子 不必不如師.
공자왈 삼인행 칙필유아사 시고 제자 불필불여사.
師不必賢於弟子 聞道 有先後 術業 有專攻 如是而已.
사불필현어제자 聞道 유선후 술업 유전공 여시이이.

李氏子蟠 年十七 好古文 六藝經傳 皆通習之 不拘於時
이씨자반 연십칠 호고문 육예경전 개통습지 불구어시
晴學於余 余嘉其能行古道 作師說以之.
청학어여 여가기능행고도 작사설이지.

◆ 원문과 토 ◆
古之學者 이 必有師하니 師者는 所以傳道授業解惑也라.
人이 非生而知之者면 孰能無惑이리오. 惑而不從師면 其爲惑也이 終不解矣리라.

生乎吾前하여 其聞道也이 固先乎吾면 吾從而師之요 生乎吾後라도 其聞道也이 亦先乎吾면 吾從而師之니 吾는 師道也라 夫庸知其年之先後 生於吾乎리오 是故로 無貴無賤하며 無長無小 하고 道之所存이 師之所存也니라.

嗟乎라 師道之不傳也이 久矣라 欲人之無惑也나 難矣로다 古之聖人은 其出人也이 遠矣로되 猶且從師而問焉이어늘 今之衆人은 其下聖人也이 亦遠矣로되 而恥學於師라 是故로 聖益聖하며 愚益愚이 其皆出於此乎인저.

愛其子하여는 擇師而敎之하고 於其身也엔 則恥師焉하니 惑矣로다 彼童子之師는 授之書而習其句讀者也니 非吾所謂傳其道解其惑者也라 句讀之不知와 惑之不解에 或師焉하며 或不焉하니 小學而大遺라 吾未見其明也호라.

巫醫樂師百工之人은 不恥相師어늘 士大夫之族은 曰 師 曰 弟子 云者면 則群聚而笑之하고 問之則曰 彼與彼이 年相若也며 道相似也니 位卑則足差요 官盛則近諛라 하니 嗚呼라 師道之不復을 可知矣로다 巫醫樂師百工之人을 君子不齒어니와 今其智乃反不能及하니 基可怪也歟인저.

聖人은 無常師라 孔子師　子　弘 師　老　하시니 　子之徒其賢이 不及孔子라. 孔子曰 [三人行에 則必有俄師라]하시니 是故로 弟子 不必不如師요. 師不必賢於弟子라 聞道 有先後하고 術業이 有專攻이니 如是而已니라.

李氏子蟠이 年十七에 好古文하여 六藝經傳을 皆通習之라 不拘於時하고 晴學於余어늘 余嘉其能行古道하여 作師說以之하노라.

◆1. 풀이 ◆

옛 학자는 반드시 스승이 있었으니, 스승이라 하는 것은 도(道)를 전하고 학업을 주고 의혹을 풀어 주기 위한 것이다. 사람이 나면서부터 아는 것이 아닐진대 누가 능히 의혹이 없을 수 있으리요. 의혹이 있으면서 스승을 따르지 않는다면 그 의혹된 것은 끝내 풀리지 않는다.

나보다 먼저 나서 그 도를 듣기를 진실로 나보다 먼저라면 내가 좇아서 그를 스승으로 삼을 것이요, 나보다 뒤에 났다 하더라도 그 도를 듣기를 또한 나보다 먼저라고 하면 내 좇아서 이를 스승으로 할 것이다. 나는 도(道)를 스승으로 하거니, 어찌 나보다 먼저 나고 뒤에 남을 개의하랴. 이렇기 때문에 귀(貴)한 것도 없고 천(賤)한 것도 없으며 나이 많은 것도 없고 적은 것도 없는 것이요 도가 있는 곳이 스승이 있는 곳이다.

슬프도다. 사도가 전하지 아니한 지 오래 되었구나. 사람은 의혹이 없고저 하나 어려운 일이다. 옛날 성인은 사람에서 뛰어나기를 멀리하였으되(남보다 매우 뛰어났으나) 오히려 또한 스승을 좇아 물었건만 오늘날 많은 사람들은 그 성인에서 떨어지기를 또한 멀리 하였으되(성인보다 매우 뒤떨어지면서) 스승에게서 배우기를 부끄러이 여긴다. 이렇기 때문에 성(聖)은 갈수록 성스러워지고, 우(愚)는 갈수록 어리석어진다. 성인이 성인인 까닭과 우인이 어리석은 까닭은 그 모두가 여기서 나오는 것이다.

그 자식을 사랑하는 데는 스승을 가려서 그를 가르치되 자신에게 있어서는 스승 둠을 부끄러이 여기니 알 수 없도다. 저 동자의 스승은 그에게 책을 주어서 그 구두를 익혀 주는 사람이니 나의 이른 바 그 도를 전하고 그 의혹을 풀어주는 것(진정한 師)이 아니다. 구두를 알지 못함과 의혹을 풀지 못함에 혹은 스승을 두고 혹은 그렇지 않으니 작은 것은 배우고 큰 것은 버리는 것이라. 나는 그 것을 밝은 것(현명한 짓)으로 보지 않는다.

무당, 의사, 약사 온갖 장인 등은 서로 스승이 됨을 부끄러이 여기지 않는데 사대부 족속들은 '스승이라' 하고 '제자라'고 운운하면 곧 모두들 모여서 이를 비웃는다. 이(이유)를 물으면 곧 말하기를 '저와 저는 나이가 서로 같고, 도가 서로 비슷하니, 지위가 낮으면 부끄러함에 족하고, 벼슬이 성하면 아첨에 가까운 것이라' 하니 아아, 사도가 회복되지 못할 것을 (가히) 알 수 있도다. 무당, 의사, 약사, 온갖 장인의 사람들을 군자는 상대도 하지 않거늘, 이제 그들의 지혜는 곧 도리어 (능히) (저 사람들에게) 미칠 수 없으니 그것은 (가히) 괴이하게 여길 만하지 않은가.

성인에게는 상사가 없도다. 공자는 담자, 장흥, 사양, 노담을 스승으로 삼으시니, 담자의 무리는 그들의 어짊이 공자에게 미치지 못함이라. 공자 말씀하시되, '세 사람이 가는 데에 곧 반드시 나의 스승이 있다.'고 하시니, 이런 까닭으로 제자라고 해서 반드시 스승만 못하란 법이 없고 스승이라고 해서 반드시 제자보다 어진 것이 아니다. 도를 듣는 것이 선후가 있고 술업에는 전공이 있으니. 이와 같을 따름이니라.

이씨의 아들 반이 나이 열 일곱이라. 고문을 좋아해서 육예(六藝)의 경전을 다 통하여 익히더니 시세에도 불구하고 나에게 배움을 청해 왔다. 나는 그의 능히 옛 道를 행하는 것을 가상히 여겨 사설을 지어서 그에게 주는 것이다.

◆ 2. 감상 ◆

이 글은 스승에 대한 해설이다. 사람은 모름지기 도(道)가 있는 군자를 스승으로 삼아 옛 성인의 도를 배움으로서 비로소 사람이라고 할 수 있다. 옛날 도가 세상에 행하여졌을 때는 배움에 노소(老少)가 없고, 귀천이 따로 없어, 누구든 도가 있는 사람이면 기꺼이 스승으로 삼았다. 그러나, 당대(唐代)에 이르러 야릇한 풍조가 있었으니, 그것은 사람들이 스승을 삼고 제자가 되는 것을 부끄럽게 여기는 풍조다. 한 퇴지는 이 잘못 돌아가는 세상 인정을 개탄하고 이 점을 깨우쳐 주기 위하여 이 글을 지었다고 한다.

◆ 3. 지은이 ◆

韓愈(한유 768∼824) : 중국 당나라의 문인. 자는 퇴지(退之), 호는 창려(昌黎), 정치적으로 불우하였으나 문단에 있어서는 당송팔대가 (唐宋 八大家)의 한사람으로 꼽힘. 종래 한(韓)이후 문장에 있어 외형의 대구(對句) 같은 것을 화려하게 하여 사상을 속박해 오던 풍습을 타파하여 사상을 자유로이 표현하는 고문(古文)을 주장하였음. 문학사상(文學史上) 크게 공적을 남긴 사람으로 '한문공집(韓文公集)' 전함.

◆ 4. 주제 ◆
반드시 스승을 좇아 道를 배워야 하고, 남의 제자가 되는 것을 부끄럽게 여기는 세태를 개탄한 글임.

◆5. 출전 ◆
한문공집(韓文公集)

◆ 6. 한자풀이◆
惑 : 미혹할 혹.(惑世) 孰 : 누구 숙 庸 : 떳떳할 용(中庸), 쓸 용(登庸), 어리석을 용(庸劣) 어찌 용

賤 : 천할 천 嗟 : 탄식할 차 恥 : 부끄러울 치 愚 : 어리석을 우(愚昧)

◆ 7. 어구 및 어법풀이 ◆

生而知之者 : 태어나면서 저절로 아는 자

孰能無惑 : 누가 능히 의혹이 없으리오

生乎吾前 : 나보다 먼저 태어나다

其聞道也 : 그 도를 깨달은 것이

吾從而師之 : 내가 좇아서 그를 스승삼고

出人 : 남보다 뛰어나다

從師而問焉 : 스승을 좇아서 그에게 묻다

其下聖人也 : 성인보다 뒤떨어 지다

움직이는 자만이 살아남는다.

-소천 권태일-

몽골수도 울란바토르 근교에
돌궐 제국을 이끈 명장 톤유쿠크 장군의 비문이 있따.

"성을 쌓고 사는 자는 반드시 망할 것이나,
끊임없이 이동하는 자는 살아남을 것이다."

백수의 왕 사자는 배만 부르면 그만이다.
먹는 것이 충족되면 이내 움직임을 중단한다.

그런데 사자는 지금 어디에서 볼 수 있는가?
동물원에서만 볼 수 있다.

그러나...
다름쥐, 토끼, 닭, 개 그리고 소들은 끊임없이 생존을 위해 움직인다.
자의든 타의든...

이들은 아직도 우리와 함께 살아고 있다.

사람들도 마찬가지다.
움직이길 싫어하고 생각하기를 싫어하는 사람은
거의 백수의 사자와 가깝게 되고 만다.

그러나 끊임없이 움직이길 좋아하는 사람은
본인의 일용할 양식은 물론 타인에게 힘을 주고 용기를 주게 된다.

한마디로 유익을 끼치는 것이다.
인류의 역사가 이를 증명한다.

바벨탑을 쌓으려 했던 사람들은 모두 츹어졌고,

끊임없이 자기 재산에 소유보다 분배의 치중하여
움직이는 텐트를 소유한 아브라함은 거부가 되어 수많은 사람들에게

복 받는 비결을 가르쳐준 위대한 인물이 되었다.

하버드대 도서관의 새벽 4시, 그들만의 철학 30가지

1. 지금 잠을 자면 꿈을 꾸지만 지금 공부하면 꿈을 이룬다.
2. 내가 헛되이 보낸 오늘은 어제 죽은 이가 갈망하던 내일이다.
3. 늦었다고 생각했을 때가 가장 빠른 때이다.
4. 오늘 할 일을 내일로 미루지 마라.
5. 공부할 때의 고통은 잠깐이지만 못 배운 고통은 평생이다.

6. 공부는 시간이 부족한 것이 아니라 노력이 부족한 것이다.
7. 행복은 성적순이 아닐지 몰라도 성공은 성적순이다.
8. 공부가 인생의 전부는 아니다. 그러나 인생의 전부도 아닌 공부 하나도 정복하지 못한다면 과연 무슨 일을 할 수 있겠는가?
9. 피할 수 없는 고통은 즐겨라.
10. 남보다 더 일찍 더 부지런히 노력해야 성공을 맛 볼 수 있다.

11. 성공은 아무나 하는 것이 아니다. 철저한 자기 관리와 노력에서 비롯된다.
12. 시간은 간다.
13. 지금 흘린 침은 내일 흘릴 눈물이 된다.
14. 개같이 공부해서 정승같이 놀자.
15. 오늘 걷지 않으면, 내일 뛰어야 한다.

16. 미래에 투자하는 사람은 현실에 충실한 사람이다.
17. 학벌이 돈이다.
18. 오늘 보낸 하루는 내일 다시 돌아오지 않는다.
19. 지금 이 순간에도 적들의 책장은 넘어가고 있다.
20. no pains no gains 고통이 없으면 얻는것도 없다.

21. 꿈이 바로 앞에 있는데, 당신은 왜 팔을 뻗지 않는가?
22. 눈이 감기는가? 그럼 미래를 향한 눈도 감긴다.
23. 졸지 말고 자라.
24. 성적은 투자한 시간의 절대량에 비례한다.
25. 가장 위대한 일은 남들이 자고 있을 때 이뤄진다.

26. 지금 헛되이 보내는 이 시간이 시험을 코앞에 둔 시점에서 얼마나 절실하게 느껴지겠는가?
27. 불가능이란 노력하지 않는 자의 변명이다.
28. 노력의 댓가는 이유없이 사라지지 않는다.
29. 한시간 더 공부하면 남편 얼굴이 바뀐다.

전공수학 추천 도서

최석민 전공수학 추천 도서

1) 해석학

   ▪  해석학 입문-노정학 외2인 -교우사

   ▪  해석학 입문- 김태화 - 교우사

   ▪  초등 해석학 -김용태- 경문사

2) 위상수학

   ▪  기본 위상 수학-노영순-교우사

   ▪  위상수학의 기초 - 이승온 외1인 - 교우사

3) 정수론

   ▪  정수론 - 김응태외 1인 - 경문사

   ▪  알기 쉬운 정수론-임근빈외2인-경문사

4) 이산수학

   ▪  이산수학 교사용 지도서

   ▪  이산수학-황석근외2인-(주)블랙 박스

5) 선형 대수학

   ▪  선형대수학- 한재영외2인 - 경문사

   ▪  선형대수총론-긴진천외1인-교우사

6) 복소 해석학

   ▪  복소함수론-이석영- 교학연구사

   ▪  복소함수론과 그 응용-허민-경문사

7) 확률 및 통계

   ▪  확률 및 통계 입문-이민영 -경문사

   ▪  통계학 개론-김우철외8인-영지문화사

8) 미분 기하학

   ▪  미분기하학개론-표용수외1인-경문사

   ▪  미분기하학-이승훈외1인-경문사

9) 현대 대수학

   ▪  현대대수학(5판)-김응태, 박승안-경문사

   ▪  알기 쉬운 대수학 -김주필-대선

   ▪  현대대수학-임근빈외2인-경문사

자료출처 : http://www.iteaching.co.kr/

김현웅 전공수학 추천 도서

1. 위상수학

1-1 이승온외 1인, 위상수학의 기초, 교우사 (난이도 : 중) 연습문제풀이

1-2 장영식, 위상수학, 경문사, 1994 (난이도 : 중)

1-3 Muncres. J. R, Topology a first course (난이도 : 상)

2. 실해석학

2-1 노정학외 2인, 해석학입문, 교우사, 2004 (난이도 : 중) 홀수번 연습문제풀이

2-2 김광환, 해석학입문, 청문각, 2004, 7 (난이도 : 하) 연습문제풀이

2-3 R. G. Bartle 원저, 김용태 번역, 실해석(초등), 경문사, 1998 (난이도 : 중)

2-4 계승혁 외 2인, 해석개론, 서울대학교출판부, 1995 (난이도 : 상)

2-5 Rudin. W. Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill, 1976 (난이도 : 상)

※ 2-5 : 다변수해석이론 수록

3. 복소해석학

3-1 이석영, 복소함수론, 교학연구사, 1995 (난이도 : 중)

3-2 최운행, 복소해석학, 학문사, 1995 (난이도 : 중) 연습문제 일부풀이

4. 정수론

4-1 오정환, 이준복 공저, 정수론, 교우사, 1998 (난이도 : 중) 연습문제 일부풀이

4-2 윤영진, 정수론입문, 교우사, 2001, 7(난이도 : 중) 연습문제 일부풀이

4-3 임근빈외, 알기쉬운 정수론, 2002 (난이도 : 중) 연습문제 풀이

5.현대대수학

5-1 임근빈, 전송기, 임동만, 현대대수학, 경문사, 1998 (난이도 : 상) 연습문제풀이

5-2 천장호, 현대대수학, 대영사, 1991 (난이도 : 중)

5-3 김주필, 알기쉬운 대수학, 대선, 2004 (난이도 : 중) 연습문제풀이별책

6.선형대수학

6-1 한재영, 선형대수학, 경문사, 1997 (난이도 : 중) 연습문제일부풀이

7.미분기하학

7-1 표용수, 김향숙, 미분기하학개론, 경문사, 1999 (난이도 : 중)

7-2 전재복, 미분기하학개론, 경문사, 1996 (난이도 : 중) 연습문제일부풀이

7-3 O"Neill원저, 이승훈, 한동숭 역, 미분기하학, 경문사, 1997, (난이도 : 상) 연습문제풀이

8. 일반통계학

8-1 이민영, 확률 및 통계입문, 경문사, 2003 (난이도 : 하) 연습문제풀이

8-2 김우철외 9인, 일반통계학, 영지문화사, 2000 (난이도 : 상)

9. 이산수학

9-1 이장주 외, 이산수학 해법문제집, 천재교육, 2004(난이도 : 하) 연습문제풀이

9-2 황석근 외 2인, 이산수학, 블랙박스, 2001(난이도 : 중상) 연습문제일부풀이

9-3 강원대학교 국정 도서 편찬 위원회, 이산수학 교사용지도서, 2002(난이도 : 중)

10.수학교육론

10-1 황혜정 외 5인, 수학교육학신론, 문음사, 2001,8

10-2 김진, 수학교육론, 현대고시사, 2003, 2

10-3 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울대출판부, 1999

10-4 강옥기, 수학과 학습지도와 평가론, 경문사, 2000,9

자료출처 : http://www.yebigyosa.com/

[스크랩] 교원임용합격 10계명(희소고시학원에서 펌)

전체메일에 발송했던 내용입니다. 첫째, 최근 3년간의 기출문제를 철저히 분석하여 이해를 하고 있어야 한다. 둘째, 기본서와 문제집 선정을 잘하여야 하고 단권화를 하여 반복독파한다. 셋째, 최근 출제 경향에 알맞게 영역별 분석표를 작성하여 공부하여야 한다. 넷째, 학교 현장에 적용 가능한 부분이 무엇인지를 염두에 두고 공부하여야 한다. 다섯째, 교육학과 전공과목 및 2차과목인 논술을 균형있게 계획하고 실천하며 평가해 보는 습관을 길러야 한다. 여섯째, 합격선배들의 조언을 꼭 듣고 좋은 자료를 스스로 챙겨서 보아야 한다.          <서브 노트는 매우 중요한 자료로써 많은 도움이 된다.> 일곱째, 최신 국가 시책, 교육부 지침, 교원연수자료, 교육관계잡지를 통해서 시험과 관련된 부분을 체계적으로 정리해야 한다. 여덟째, “연습은 완전을 만든다”는 점을 명심하여야 한다.          <실제 시험을 염두에 둔 답안작성연습은 매우 중요하다.> 아홉째, 적극적 사고방식을 가지고 늘 자신감으로 충만되어 있어야 한다.           결국 합격은 집중력 싸움에 지나지 않는다. 열번째, 희망과 미소를 짓는 여유를 가지고 기쁨과 기도와 감사함으로 나날이 새로워지는 수험생활이 되어야 합격한다. 한 번 정한 마음 변치 않고, 굳은 의지를 가지고 실천하는 자만이 최후의 승리자가 된다는 점을 명심해야 한다. <마음의 평온상태에서 능률이 배가 된다>